Static Analysis 09 Pointer Analysis Foundations I

重点

• Understand Rules for pointer analysis
• Understand PFG (Pointer flow graph)
• Understand Algorithm for pointer analysis

Notations

首先关注前四种语句，Call 语句下节课讲

介绍一些数学表示

Pointer Analysis: Rules

主要解释 Rule 一列中的内容。横线上的内容是前提 (Premises) ，横线下的内容是结论 (Conclusion) 。

New 语句：将新建的对象加入 $pt(x)$ Assign 语句：将 $x$ 指向 $y$ 指向的对象。 Store 和 Load: 同上

How to Implement Pointer Analysis

指针分析是在指针间传递指向关系。最开始的指向关系都来自于 new 语句。

指针分析的关键：当 $pt(x)$ 变化时，也要更新 $x$ 相关的其他指针

Pointer Flow Graph

Pointer Flow Graph (PFG) of a program is a directed graph that expresses how objects flow among the pointers in the program.

指针流图的两大要素是 Node 和 Edge

• Node: Pointer = V ⋃ (O × F)
  • A node n represents a variable or a field of an abstract object
• Edges: Pointer × Pointer
  • An edge $x \to y$ means that the objects pointed by pointer $x$ may flow to (and also be pointed to by) pointer $y$

Example

假设 c 和 d 一开始都指向 $o_i$，根据上述规则，我们能够从左侧的程序语句从上到下构建出右侧的指针流图。

所有 b 所指向的对象更新时，都要传递到 e 中。这是一个求传递闭包 (transitive closure) 的过程。

假如我们考虑 j 位置的一条新语句b = new T();

PFG 的构建和传递指针关系这两个步骤是相互依赖的。指针分析过程中需要不断在这两个步骤之间循环往复。

Pointer Analysis: Algorithms

Introduction

• 由于做流不敏感分析。输入为Set，丢失了语句的顺序关系也没关系。
• WorkList：保存接下来要处理的指向信息，与BFS中的队列作用类似。
• Each worklist entry $\left \langle n, pts \right \rangle$ is a pair of pointer $n$ and points-to set $pts$, which means that $pts$ should be propagated to $pt(n)$
  • $E.g., [\langle x, {o_i} \rangle, \langle y, {o_j, o_k} \rangle , \langle o_j.f, {o_l} \rangle \dots]$

四个红框部分对应之前提到的四种基本语句—— New, Assign, Store 和 Load

Handling of New and Assign

Init and adding edges

首先考虑两种简单的语句：New和Assign。

• 前三行代码做初始化的工作，并针对所有的 New 语句，将所有的初始指向关系加入WorkList。注意 $pt(n)$ 初始化后为空集${}$，随着算法的迭代会增加元素。
• 之后的两行代码处理 Assign 语句，添加y->x的边到PFG中。添加边的具体算法如下

Propagate

在 Propage() 之前要先去重

解释 Propagate() 具体做的事情

Detial-Differential Propagation

为什么要去重？

• 去重与否不影响正确性
• 主要是为了避免冗余的操作

在真实的指针分析中，对象的数量非常巨大（上亿），我们通过Differential Propagation来消除冗余。

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Solve(𝑆)
    ...
    while WL is not empty do
        remove 𝑛, 𝑝𝑡𝑠 from WL
        Δ = pts – pt(n) // Differential Propagation
        Propagate(n, Δ) // Differential Propagation

Example:

首先是a->c->d的传递路线

如果不考虑 Differential Propagation，在 b->c->d 的传递路线中，${o_1, o_3}$ 之前已经在c所指向的集合中了，但依然需要参与传播，这是冗余的。

如果去重，只需要传播 ${O_5}$ 这一项即可。

Handling Store and Load

Example

以这个程序为例讲解算法。

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1 b = new C(); 
2 a = b;
3 c = new C(); 
4 c.f = a;
5 d = c;
6 c.f = d; 
7 e = d.f;

结果如下图，过程看视频